محاسبه ریشه nام

به ابزار محاسبه ریشه nام خوش آمدید! به کمک این ابزار می‌توانید ریشه nام هر عددی را به راحتی محاسبه کنید.

ابتدا توضیح مختصری درباره مفهوم ریشه در ریاضیات ارائه می‌دهیم و سپس مثال‌های ساده‌ای را مطرح می‌کنیم.

آرام بنشینید و از سفر به دنیای رادیکال‌ها لذت ببرید!

ریشه در ریاضیات چیست؟

همه ما با ضرب آشنا هستیم، به‌عنوان مثال:

12 × 4 = 48

اگر بخواهیم یک عدد را چند بار در خودش ضرب کنیم، می‌توانیم به صورت ساده‌تر بنویسیم:

12 × 12 × 12 × 12 × 12 = 125

در اینجا عدد 5 را توان می‌نامیم که نشان می‌دهد چند بار عدد بزرگ (در اینجا 12) در خودش ضرب شده است. به این عملیات توان‌گیری گفته می‌شود.

ریشه عملیات معکوس این فرآیند است…

وقتی عدد 125 را می‌بینیم، گرفتن ریشه آن نشان می‌دهد که این عدد از چه مقدار کوچکی به وجود آمده است. در این مثال، عدد 5 است چون:

53 = 125

مثال ساده: فرض کنید که در حیاط خود یک استخر می‌سازید. می‌خواهید استخر به‌صورت مربع و کل مساحت آن 256 متر مربع باشد. طول اضلاع چقدر خواهد بود؟ با محاسبه ریشه دوم مساحت، می‌توانید به این سوال پاسخ دهید:

√256

نتیجه این محاسبه مشخص می‌کند که طول هر ضلع استخر 16 متر است.

چگونه ریشه دوم را محاسبه کنیم؟

گاهی محاسبه ریشه شبیه یک بازی حدس زدن است، اما این به معنای بخت و اقبال نیست. برای مثال، اگر بدانیم:

34 = 81

پس می‌توانیم بگوییم که ریشه چهارم 81 برابر 3 است.

حال اگر جدول توان‌های اعداد را در دست نداشته باشیم، چه باید کرد؟ اینجاست که تجزیه عدد به عوامل اول به کمک ما می‌آید.

برای مثال، می‌خواهیم ریشه دوم 72 را بیابیم. عدد 72 را به عوامل اولش تجزیه می‌کنیم:

72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

بنابراین:

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

حال اگر جفت‌ها را گروه‌بندی کنیم، می‌بینیم که:

√72 = √(2 × 2 × 3 × 3 × 2) = 6√2

🙋 برای اطلاعات بیشتر، به محاسبه‌گر جذر مراجعه کنید!

ریشه سوم، ریشه چهارم، ریشه nام

به یاد دارید که در بخش اول تصمیم به ساخت استخر گرفتید؟ حالا فرض کنید که می‌خواهید این استخر به شکل مکعب باشد و حجم آن 1,728 متر مکعب آب باشد.

چطور می‌توانید طول ضلع چنین استخری را پیدا کنید؟ بله، با محاسبه ریشه سوم این عدد. (به همین دلیل است که آن را ریشه مکعب می‌نامند.) این محاسبه به ما می‌گوید که طول ضلع باید 12 متر مربع باشد:

17281/3 = 12 m

اما چگونه به این نتیجه رسیدیم؟ با تجزیه عدد به عوامل اول. اگر این روش را برای 1728 به کار ببریم، خواهیم داشت:

1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

حالا به جای جفت‌ها، اعداد را به سه‌گانه‌ها گروه‌بندی می‌کنیم. این همان چیزی است که عدد کوچک 3 در نماد ریشه نشان می‌دهد. ما به توان سوم نیاز داریم. توجه داشته باشید که ریشه‌های دوم در واقع رادیکال‌هایی از مرتبه 2 هستند، اما چون نیازی به نوشتن آن نیست، این کار را نمی‌کنیم.

به هر حال، بازگردیم به مسئله. گروه‌بندی به ما اجازه می‌دهد که بنویسیم:

17281/3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 1/3 = 23 × 23 × 331/3 = 2 × 2 × 3 = 12


اگر مرتبه رادیکال بالاتر باشد، همین قانون اعمال می‌شود. هنگام محاسبه ریشه چهارم، اعداد اول را به گروه‌های چهارگانه تقسیم می‌کنیم. به عنوان مثال، اگر نیاز به محاسبه چهارمین ریشه عدد 81 داشته باشیم، ابتدا متوجه می‌شویم که:

81 = 3 × 3 × 3 × 3

بنابراین چهار عدد 3 داریم. این بدان معناست که ریشه چهارم عدد 81 برابر است با 3.

اگر به ریشه nام نیاز داشته باشیم، گروه‌ها را به دسته‌های nتایی تقسیم می‌کنیم. اگر چیزی بعد از تجزیه باقی بماند، آن را با ابزاری مانند محاسبه ریشه پیدا می‌کنیم.

خب، بعد از این همه توضیح نظری، زمان آن است که یک مثال واقعی را بررسی کنیم.

مثال استفاده از محاسبه‌گر ریشه

تبریک می‌گوییم، فرزند شما یک پسر است! اکنون که پدر یا مادر شده‌اید، تصمیم می‌گیرید از همان ابتدا مقداری پول پس‌انداز کنید تا وقتی او به دانشگاه می‌رود، از آن استفاده کند. تصمیم می‌گیرید بخشی از پس‌انداز خود را در بانک بگذارید تا طی هجده سال آینده همراه با فرزندتان رشد کند.

فرض کنید توانسته‌اید مبلغ $8,000 (آن را start بنامیم) در بانک سپرده‌گذاری کنید. متأسفانه نرخ سود این سرمایه‌گذاری را فراموش کرده‌اید، اما کار انجام شده است. در پایان، مبلغ نهایی برای شما و پسرتان یک شگفتی خواهد بود.

سال‌ها می‌گذرد و بالاخره زمان اهدای این پول به فرزندتان می‌رسد. وقتی با بانک تماس می‌گیرید، متوجه می‌شوید که در حساب شما $12,477.27 وجود دارد (این مقدار را end بنامیم). به نظر می‌رسد می‌توانید آرزوهای فرزندتان را محقق کنید.

اما فقط از روی کنجکاوی، آیا می‌توانیم نرخ سود را از اعدادی که داریم محاسبه کنیم؟

بله، با محاسبه‌گر ریشه!

فرض کنید سود هر سال به حساب افزوده شده و پول مشمول مالیات نشده است. در این صورت، فرمول زیر برای محاسبه مبلغ نهایی اعمال می‌شود:

end = start × (1 + interest rate)18

در اینجا توان 18 به دلیل 18 سال سپرده‌گذاری است. برای مثال ما:

$12,477.27 = $8,000 × (1 + interest rate)18

با تقسیم هر دو طرف بر $8,000 خواهیم داشت:

$12,477.27 / $8,000 = (1 + interest rate)18

و با تقریب بیشتر:

1.5597 = (1 + interest rate)18

حال، باید ریشه 18ام عدد 1.5597 را بیابیم. این مقداری پیچیده‌تر از ریشه دوم اعداد معمولی است.

از محاسبه‌گر ریشه استفاده می‌کنیم. در آنجا دو عدد داریم: a و n. مقدار n مرتبه ریشه است، بنابراین مقدار n=18 را وارد می‌کنیم. عدد a نیز مقدار زیر رادیکال است، پس a=1.5597 را وارد می‌کنیم. محاسبه‌گر ریشه به ما پاسخ می‌دهد:

1 + interest rate = 1.025

حالا اگر مقدار اعشاری را به درصد تبدیل کنیم، داریم:

interest rate = 0.025 = 2.5%

سؤالات متداول

چگونه بدون استفاده از ماشین‌حساب ریشه دوم را پیدا کنم؟

یکی از روش‌های تخمین ریشه دوم، روش بابلی است. این روش به شرح زیر عمل می‌کند:

• با یک حدس اولیه برای ریشه دوم شروع کنید.
• عدد اصلی را بر حدس اولیه خود تقسیم کنید.
• میانگین حدس اولیه و نتیجه تقسیم را محاسبه کنید.
• این مراحل را تکرار کنید تا به دقت مورد نظر برسید.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن ریشه دوم عدد 2:

1. با حدس اولیه 1.5 شروع کنید.
2. عدد 2 را بر 1.5 تقسیم کنید، که نتیجه 1.3333 می‌شود.
3. میانگین 1.5 و 1.3333 را محاسبه کنید، که 1.4167 می‌شود.
4. مراحل ۲ و ۳ را تکرار کنید تا نتیجه به دقت مورد نظر برسد.

چگونه با ماشین‌حساب ریشه سوم را پیدا کنم؟

برای پیدا کردن ریشه سوم یک عدد با ماشین‌حساب معمولی:

• عدد مورد نظر را وارد کنید و دکمه ∛x را فشار دهید.
• در ماشین‌حساب مهندسی، دکمه ∛ را فشار داده و سپس عدد را وارد کنید.

برای پیدا کردن ریشه‌های بالاتر:

• عدد مرتبه ریشه را وارد کنید.
• دکمه y√x را فشار دهید.
• در نهایت عدد مورد نظر را وارد کنید.
• این مراحل در ماشین‌حساب‌های علمی نیز مشابه هستند، اگرچه ممکن است دکمه با عنوان x√ مشخص شده باشد.

چگونه در اکسل ریشه دوم را محاسبه کنم؟

برای محاسبه ریشه دوم یک عدد در اکسل یا Google Sheets، از تابع SQRT() استفاده کنید. به عنوان مثال، برای محاسبه ریشه دوم عدد موجود در سلول A1، فرمول زیر را وارد کنید:

=SQRT(A1)

ریشه دوم عدد ۶۴ چیست؟

عدد 8. زیرا اگر 8 را در خودش ضرب کنیم، نتیجه 64 خواهد شد. گرفتن ریشه دوم یک عدد به معنای پیدا کردن عددی است که با ضرب در خودش، عدد اصلی را تولید کند.

در مورد عدد 64، چون ریشه دوم آن عددی صحیح است، 64 یک عدد مربع کامل نامیده می‌شود. این بدان معناست که می‌توان 64 واحد را به صورت مربعی با طول ضلع 8 واحد مرتب کرد.