ابزار محاسبه میانگین هارمونیک به شما کمک میکند در کسری از ثانیه، میانگین هارمونیک 2 تا 20 عدد مختلف را به صورت دقیق و علمی محاسبه کنید. اگر نمیدانید میانگین هارمونیک چیست یا به دنبال تعریف و فرمول آن هستید، ادامه مطلب را بخوانید.
نحوه محاسبه میانگین هارمونیک با ابزار ما
بیایید میانگین هارمونیک اعداد 3، 4، 6 و 12 را پیدا کنیم:
- اولین مقدار را در اولین فیلد وارد کنید: در اینجا مقدار 3 است.
- مقادیر باقیمانده را در سه فیلد بعدی وارد نمایید. در ابتدا 2 فیلد موجود است، اما میتوانید تا 200 عدد مختلف را وارد کنید، فیلدها با وارد کردن مقادیر بیشتر ظاهر میشوند.
- روی دکمه محاسبه کلیک کنید.
- میبینیم که میانگین هارمونیک اعداد 3، 4، 6 و 12 برابر با 4.8 است.
میانگین هارمونیک چیست؟
میانگین هارمونیک یکی از سه نوع میانگین محبوب در ریاضی است، همراه با میانگین حسابی و هندسی که شناختهشدهتر هستند.
چگونه میانگین هارمونیک را پیدا کنیم؟
- تعداد اعداد را بشمارید، فرض کنید تعداد آنها
nاست. - معکوس هر عدد را محاسبه کنید، معکوس
xبرابر است با1/x. - این معکوسها را جمع کنید و حاصلجمع را
sبنامید. - میانگین هارمونیک را با تقسیم
nبرsمحاسبه کنید.
برای مثال، میانگین هارمونیک اعداد 3، 4 و 6 را محاسبه میکنیم:
- تعداد اعداد سه عدد است، بنابراین
n = 3. - معکوسها را محاسبه میکنیم:
⅓،¼و⅙. - بنابراین
s = ⅓ + ¼ + ⅙ = ¾. - در نهایت، میانگین هارمونیک برابر است با:
n / s = 3 / ¾ = 4.
فرمول میانگین هارمونیک
تعریف رسمی میانگین هارمونیک n عدد مثبت x₁, x₂, ..., xn به صورت زیر است:
\(H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + … + \frac{1}{x_n}}\)
که میتوان آن را به این صورت بازنویسی کرد:
\(H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}{n}\right)^{-1}\)
🔎 اگر میخواهید این فرمول را با فرمولهای دیگر میانگینها مقایسه کنید، ابزارهای زیر را ببینید:
میانگین هارمونیک دو یا سه عدد
برای آشنایی بیشتر، در این قسمت، میانگین هارمونیک را برای دو و سه عدد بررسی میکنیم:
دو عدد
برای دو عدد مثبت x و y، فرمول میانگین هارمونیک به صورت زیر ساده میشود:
\(H = \frac{2 \cdot x \cdot y}{x + y}\)
یعنی شما باید حاصلضرب x و y را دو برابر کرده و آن را بر مجموع x و y تقسیم کنید.
برای مثال، میانگین هارمونیک x = 2 و y = 8 برابر است با:
\(H = \frac{2 \cdot 2 \cdot 8}{2 + 8} = \frac{32}{10} = 3.2\)
سه عدد
برای سه عدد مثبت x، y و z، فرمول میانگین هارمونیک به صورت زیر است:
\(H = \frac{3 \cdot x \cdot y \cdot z}{(x \cdot y) + (y \cdot z) + (z \cdot x)}\)
به عنوان مثال، میانگین هارمونیک x = 2، y = 5 و z = 10 به صورت زیر محاسبه میشود:
\(H = \frac{3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 10}{(2 \cdot 5) + (5 \cdot 10) + (10 \cdot 2)} = \frac{300}{80} = \frac{15}{4} = 3.75\)
ارتباط با سایر میانگینها
- میانگین هارمونیک اعداد
x1, ... , xnبرابر است با میانگین حسابی معکوس اعداد1/x1, ... , 1/xn. - برای دو عدد، میانگین هارمونیک را میتوان به صورت نسبت مربع میانگین هندسی به میانگین حسابی محاسبه کرد: \(H = \frac{G^2}{A}\).
- برای هر لیست از اعداد مثبت، میانگین هارمونیک نه از میانگین حسابی و نه از میانگین هندسی بزرگتر است.
میانگین هارمونیک وزنی
مشابه میانگین حسابی وزنی، میانگین هارمونیک نیز دارای نوع وزنی است. اگر لیستی از اعداد x₁, ..., xn و لیستی از وزنها w₁, ..., wn داشته باشیم، میانگین هارمونیک وزنی به صورت زیر تعریف میشود:
\(H = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i}{\sum_{i=1}^{n} \frac{w_i}{x_i}} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{w_i}{x_i}}{\sum_{i=1}^{n} w_i}\right)^{-1}\)
کاربردهای میانگین هارمونیک
- هندسه: در هر مثلث، شعاع دایره محیطی برابر با یکسوم میانگین هارمونیک ارتفاعهای مثلث است.
- مالی: میانگین هارمونیک وزنی برای محاسبه نسبت قیمت به درآمد (P/E) یک شاخص متشکل از چند سهام استفاده میشود.
- فیزیک:
- سرعت متوسط: اگر مسافتی را با سرعت
v₁طی کنید و سپس با سرعتv₂برگردید، سرعت متوسط برابر میانگین هارمونیکv₁وv₂است. - مقاومت: اگر
nمقاومت را بهصورت موازی وصل کنید، تأثیر کل مانند یک مقاومت با مقدارnبرابر میانگین هارمونیک مقاومتها است. - ظرفیت خازنی: در خازنهای متصل بهصورت سری، از میانگین هارمونیک برای محاسبه ظرفیت متوسط استفاده میشود.
- سرعت متوسط: اگر مسافتی را با سرعت