محاسبه اعداد متباین (نسبت به هم اول)

ابزار محاسبه اعداد متباین (نسبت به هم اول) ما به شما کمک می‌کند تا مشخص کنید که آیا دو عدد نسبت به هم اول هستند یا نه. نگران نباشید اگر این اولین باری است که با اصطلاحات نسبت به هم اول یا اعداد اول مشترک آشنا می‌شوید. در مقاله زیر، به بررسی مبانی این موضوع خواهیم پرداخت، از جمله:

• تعریف اعداد نسبت به هم اول
• چگونه بررسی کنیم که آیا دو عدد نسبت به هم اول هستند؟
• چگونه اعداد متباین را محاسبه کنیم؟
• اعداد اول مشترک در یک مجموعه از اعداد

قبل از یادگیری در مورد اعداد نسبت به هم اول، بهتر است در مورد اعداد اول بیشتر بدانید. ابزار عدد اول ما به شما کمک خواهد کرد.

تعریف اعداد متباین یا نسبت به هم اول

اعداد نسبت به هم اول، یک جفت عدد طبیعی هستند که تنها 1 به عنوان ضریب مشترک بین آنها وجود دارد. این به این معناست که هیچ عددی که بتواند یکی از این اعداد را تقسیم کند، نمی‌تواند عدد دیگر را تقسیم کند. این جفت‌ها را همچنین اعداد اول مشترک یا اعداد متباین می‌نامیم.

اگر a و b نسبت به هم اول باشند، می‌توانیم بگوییم که:

a به b اول است یا a نسبت به b اول است.

اعداد نسبت به هم اول لازم نیست که اعداد اول باشند! به عنوان مثال، اعداد 14 و 15 را در نظر بگیرید. هر دو آنها عدد مرکب هستند:

14 = 2 × 7
مقسوم‌علیه‌ها: 1، 2، 7، 14
15 = 3 × 5
مقسوم‌علیه‌ها: 1، 3، 5، 15


اما تنها مقسوم‌علیه مشترک بین 14 و 15 عدد 1 است. بنابراین، 14 نسبت به 15 اول است.

چگونه بررسی کنیم که آیا دو عدد نسبت به هم اول هستند

برای بررسی اینکه آیا دو عدد داده شده نسبت به هم اول هستند یا نه، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. ضرایب اول هر دو عدد را پیدا کنید.
2. ضرایب مشترک بین دو عدد را بیابید.
3. اگر هیچ ضریب اول مشترکی بین دو عدد وجود نداشته باشد (یعنی فقط 1 ضریب مشترک باشد)، آنگاه اعداد نسبت به هم اول هستند. اگر مقسوم علیه‌های مشترک دیگری وجود داشته باشد، آنگاه اعداد نسبت به هم اول نیستند.

برای مثال، اعداد 14 و 27 را در نظر بگیرید:

12 = 2 × 7
27 = 3 × 3 × 3


چون هیچ عامل اول مشترکی بین این دو عدد وجود ندارد، آنها نسبت به هم اول هستند. بنابراین می‌گوییم 12 نسبت به 27 اول است.

حالا اعداد 18 و 27 را در نظر بگیرید:

18 = 2 × 3 × 3
27 = 3 × 3 × 3


چون عدد 3 یک ضریب اول مشترک بین 18 و 27 است، آنها نسبت به هم اول نیستند.

چگونه اعداد نسبت به هم اول را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه یک عدد نسبی اول برای عدد a، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. عدد a را به عوامل اول تجزیه کنید.
2. هر عدد اولی که ضریب اول a نباشد را پیدا کنید. آن عدد اول با a نسبت به هم اول است.
3. به طور جایگزین، هر عدد طبیعی که عامل اول مشترکی با a نداشته باشد را پیدا کنید. آن عدد با a نسبت به هم اول است.

برای مثال، عدد 45 را در نظر بگیرید. عوامل اول آن عبارتند از:

45 = 3 × 3 × 5


چون 2 یک عدد اول است که عامل اول 45 نیست، بنابراین می‌توانیم نتیجه بگیریم که 2 و 45 نسبت به هم اول هستند.

ما همچنین می‌توانیم اعداد طبیعی دیگری مانند 14 را که عامل اول مشترک با 45 ندارند پیدا کنیم:

14 = 2 × 7


بنابراین، 14 و 45 نسبت به هم اول هستند.

اعداد اول مشترک در مجموعه‌ها

ما می‌گوییم یک مجموعه از اعداد صحیح A = {a1, a2, a3, ..., an} نسبت به هم اول است یا از نظر مجموعه‌ای اول است اگر بزرگترین عامل مشترک آنها 1 باشد. به عنوان مثال، مجموعه اعداد {4، 6، 21} نسبت به هم اول است چون GCF(4, 6, 21) = 1.

اگر هر جفت عدد در مجموعه نسبت به هم اول باشند، آنگاه می‌گوییم مجموعه از نظر جفتی اول است. در مثال بالا، مجموعه {4، 6، 21} از نظر مجموعه‌ای اول است، اما از نظر جفتی اول نیست چون جفت (4، 6) نسبت به هم اول نیستند. حالا مجموعه {4، 7، 27} را در نظر بگیرید. در این مجموعه، هر جفت عدد نیز نسبت به هم اول هستند! بنابراین، مجموعه {4، 7، 27} از نظر جفتی اول است!

استفاده از ابزار محاسبه اعداد متباین (نسبت به هم اول)

استفاده از ابزار محاسبه اعداد نسبت به هم اول ما بسیار ساده است:

• کافی است حداقل دو عدد را وارد کرده و روی دکمه محاسبه بزنید.
• می‌توانید تا 10 عدد را وارد کنید، فیلدهای جدید با اضافه کردن اعداد دوم به بعد نمایش داده می‌شوند.
• به همین سادگی!

پرسش‌های متداول

آیا اعداد 42 و 75 نسبت به هم اول هستند؟

اعداد 42 و 75 نسبت به هم اول نیستند. برای پی بردن به این موضوع، مراحل زیر را دنبال کنید:

42 = 2 × 3 × 7
75 = 3 × 5 × 5


توجه کنید که 42 و 75 عدد 3 را به عنوان عامل مشترک دارند. بنابراین، آنها نمی‌توانند نسبت به هم اول باشند.

آیا دو عدد زوج می‌توانند نسبت به هم اول باشند؟

خیر، چون تمام اعداد زوج عدد 2 را به عنوان عامل مشترک دارند، آنها نمی‌توانند نسبت به هم اول باشند. حداقل یکی از اعداد باید فرد باشد تا یک جفت (یا مجموعه) از اعداد نسبت به هم اول باشند.

آیا 1 نسبت به هر عددی اول است؟

بله، 1 نسبت به هر عددی اول است. به این دلیل که تنها عامل مشترک بین 1 و هر عدد دیگر، عدد 1 است، همانطور که در تعریف اعداد نسبی اول آمده است.