ابزار محاسبه میانگین، یک ابزار کاربردی برای محاسبه میانگین حسابی، هندسی و هارمونیک است، همه به ص.رت همزمان. به این معنا که دیگر نیازی نیست با سوال «چگونه میانگین را محاسبه کنیم؟» دست و پنجه نرم کنید. این ابزار به شما امکان میدهد سه نوع میانگین از هر مجموعه داده را پیدا کنید. در ادامه، فرمول میانگین، تعریف ریاضی میانگین و دستورالعملی برای محاسبه دستی میانگین ارائه میشود. همچنین، نابرابری بین سه میانگین توضیح داده شده و شرایط استفاده از میانگین حسابی، هندسی و هارمونیک شرح داده شده است.
نحوه استفاده از ابزار محاسبه میانگین
انواع مختلفی از میانگین وجود دارد. این ابزار کاربردی هر سه نوع میانگین محبوب را محاسبه میکند: حسابی، هندسی و هارمونیک (که به عنوان میانگینهای فیثاغورثی نیز شناخته میشوند).
- به صورت پیشفرض، ابزار محاسبه میانگین ما، هر سه نوع میانگین را به صورت همزمان نمایش میدهد.
- هر عدد را در یک فیلد جداگانه وارد کنید. میتوانید تا 20 عدد وارد کنید (فیلدهای جدید با پر کردن فیلدهای قبلی ظاهر میشوند). به یاد داشته باشید که میانگین هندسی و هارمونیک فقط از اعداد مثبت استفاده میکنند.
- نتیجه با زدن دکمه محاسبه در انتهای ابزار نمایش داده میشود.
🔎 اگر می خواهید فقط میانگین هندسی یا میانگین هارمونیک را محاسبه کنید، به ابزار محاسبه میانگین هندسی یا ابزار محاسبه میانگین هارمونیک مراجعه کنید.
تعریفهای ریاضی میانگین و فرمولها
فرض کنید x1, x2, ..., xn مجموعهای از اعداد باشد. برای میانگین هندسی و هارمونیک، فرض میکنیم که این اعداد مثبت هستند.
فرمول میانگین حسابی:
\(A = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\)
تعریف میانگین حسابی: مجموع مقادیر تقسیم بر تعداد مقادیر، n.
فرمول میانگین هندسی:
\(G = \sqrt[n]{x_1 \times \cdots \times x_n}\)
ریشه n-ام را میتوان با بالا بردن حاصلضرب به توان 1/n بازنویسی کرد، بنابراین داریم:
\(G = (x_1 \times \cdots \times x_n)^{1/n}\)
تعریف میانگین هندسی: ریشه n-ام از حاصلضرب n مقدار (حاصلضرب مقادیر به توان 1/n).
فرمول میانگین هارمونیک:
\(H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}\)
تعریف میانگین هارمونیک: تعداد مقادیر، n، تقسیم بر مجموع معکوس مقادیر (به یاد داشته باشید که معکوس عدد x برابر است با 1/x).
نحوه محاسبه میانگین…
…فرض کنید در دل جنگل هستید، بدون اینترنت و ماشینحساب، چطور باید میانگین را در این شرایط محاسبه کرد؟
اول مطمئن شوید که یک منبع آب پیدا کردهاید، یک پناهگاه امن ساختهاید و همراه خود را به بریدن چوب برای آتش مشغول کردهاید.
یک تکه کاغذ و چیزی برای نوشتن پیدا کنید، حتی زغال هم کفایت میکند. برای پیدا کردن میانگین ادامه مطلب را بخوانید.
چگونه میانگین حسابی را محاسبه کنیم:
تمام اعداد را با هم جمع کنید و مجموع آنها را با s نشان دهید. به عنوان مثال، اگر اعداد 1, 2, 4, 17 باشند:
\(s = 1 + 2 + 4 + 17 = 24\)
مجموع s را بر تعداد مقادیر n تقسیم کنید:
\(A_{\text{mean}} = \frac{s}{n} = \frac{24}{4} = 6\)
چگونه میانگین هندسی را محاسبه کنیم:
مقادیر را در هم ضرب کنید و حاصلضرب آنها را با p نشان دهید. به عنوان مثال، برای 2, 4, 8:
\(p = 2 \times 4 \times 8 = 64\)
ریشه n-ام حاصلضرب را بگیرید، جایی که n تعداد مقادیر است. اینجا، سه عدد داریم، پس ریشه سوم را میگیریم:
\(G_{\text{mean}} = \sqrt[3]{p} = \sqrt[3]{64} = 4\)
چگونه میانگین هارمونیک را محاسبه کنیم:
معکوس هر مقدار را پیدا کنید، مثلاً برای 6, 50, 75:
\(\frac{1}{6}, \frac{1}{50}, \frac{1}{75}\)
معکوسها را جمع کنید و مجموع را با s نشان دهید:
\(s = \frac{1}{6} + \frac{1}{50} + \frac{1}{75}\)
تعداد مقادیر n را بر مجموع معکوسها s تقسیم کنید:
\(H_{\text{mean}} = \frac{n}{s}\)
روابط بین میانگینها
ناهنجاری بین سه نوع میانگین:
کمی با ماشینحساب میانگین ما آزمایش کنید و ورودیهای خود را محدود به اعداد مثبت کنید. مطمئناً متوجه خواهید شد که سه نوع میانگین همیشه به همان روش خاص متفاوت هستند. ممکن است قبلاً در مورد ناهنجاری میانگینهای هندسی و حسابی شنیده باشید: این ناهنجاری میگوید که نمیتوان میانگین هندسی را از میانگین حسابی بیشتر کرد. علاوه بر این، میانگین هارمونیک نمیتواند از هیچکدام از دو میانگین دیگر بیشتر باشد، بنابراین همیشه داریم:
میانگین هارمونیک ≤ میانگین هندسی ≤ میانگین حسابی
علاوه بر این، تنها راهی که میتوانید تمام سه میانگین را برابر کنید، داشتن یک لیست از اعداد یکسان است. در این صورت، تمام سه میانگین برابر با عدد موجود در لیست خواهند بود.
میانگین هارمونیک و میانگین حسابی:
\( H(x_1, \dots, x_n) = A\left(\frac{1}{x_1}, \dots, \frac{1}{x_n}\right) – 1 \)
یعنی، میانگین هارمونیک یک لیست از مقادیر، معکوس میانگین حسابی معکوسهای آن مقادیر است.
میانگین هندسی و میانگین حسابی:
\( G(x_1, \dots, x_n) = e^{A(\ln x_1, \dots, \ln x_n)} \)
این به این معناست که لگاریتم میانگین هندسی یک لیست از مقادیر، برابر با میانگین حسابی لگاریتمهای آن مقادیر است.
میانگینهای وزنی
به طور پیشفرض، هر عدد در لیست به طور مساوی به میانگین کمک میکند. با این حال، گاهی اوقات میخواهیم برخی از مقادیر بیشتر از دیگران تاثیرگذار باشند. در این شرایط، از میانگینهای وزنی استفاده میکنیم، جایی که به جز یک لیست از اعداد x₁، x₂، ..., xₙ، یک لیست وابسته از وزنها w₁، w₂، ..., wₙ نیز داریم. این وزنها مقدار تأثیر هر عدد را در لیست بر نتیجه نهایی اندازهگیری میکنند.
فرمول میانگین حسابی وزنی:
\( A = \frac{w_1 x_1 + \dots + w_n x_n}{w_1 + \dots + w_n} \)
فرمول میانگین هندسی وزنی (برای مقادیر مثبت):
\( G = \left( \frac{w_1 x_1 \times \dots \times w_n x_n}{w_1 + \dots + w_n} \right)^{\frac{1}{w_1 + \dots + w_n}} \)
فرمول میانگین هارمونیک وزنی:
\( H = \frac{w_1 + \dots + w_n}{\frac{w_1}{x_1} + \dots + \frac{w_n}{x_n}} \)
واضح است که اگر تمام وزنها برابر باشند، میانگینهای وزنی به نسخههای استاندارد خود کاهش مییابند.